109 lines
5.8 KiB
Markdown
109 lines
5.8 KiB
Markdown
---
|
||
date:
|
||
"{ date:YYYY-MM-DD }":
|
||
tags:
|
||
title:
|
||
---
|
||
|
||
在之前模拟游戏收益的情境中，模拟一万次后收益和实际年化利率的最高值、最低值本身并不一定对应着某种典型的已知函数形式。不过我们可以从以下几个角度来分析和探讨可能的关联：
|
||
1. 数据分布特性与函数的关系
|
||
模拟收益和年化利率的随机性
|
||
每次模拟游戏的结果是随机的，由游戏的获胜概率、赢和输时的年化利率等因素共同决定。在多次模拟后，收益和年化利率的分布是基于大量随机事件的统计结果。
|
||
这种随机性使得最高值和最低值的产生也是随机的，并不遵循简单的确定性函数规律。例如，每次模拟中游戏的输赢顺序不同，最终的收益和年化利率就会不同，从而导致最高值和最低值不断变化。
|
||
2. 可能的近似分布及对应函数
|
||
收益和年化利率的分布可能近似为某种概率分布
|
||
正态分布：在某些情况下，如果模拟的次数足够多且满足一定条件，收益和年化利率可能近似服从正态分布。但最高值和最低值并非正态分布本身，而是从正态分布样本中选取的极端值。
|
||
极值分布：对于大量随机变量的最大值和最小值，它们往往服从极值分布。常见的极值分布有三种类型：Gumbel 分布、Fréchet 分布和 Weibull 分布。
|
||
Gumbel 分布：通常用于描述最大值的分布，当数据没有上限且分布的尾部较轻时，最大值可能服从 Gumbel 分布。
|
||
Fréchet 分布：适用于具有重尾分布且没有上限的数据，最大值可能遵循此分布。
|
||
Weibull 分布：可用于描述最小值的分布，当数据有下限且满足一定条件时，最小值可能服从 Weibull 分布。
|
||
1. 通过代码验证近似分布
|
||
以下是一个简单的示例，展示如何使用 Python 模拟游戏收益，并观察最高值和最低值的分布情况，尝试判断是否符合某种极值分布：
|
||
|
||
|
||
```python
|
||
import random
|
||
import math
|
||
import numpy as np
|
||
import matplotlib.pyplot as plt
|
||
from scipy.stats import gumbel_r, weibull_min
|
||
|
||
# 初始本金
|
||
initial_principal = 10000
|
||
# 游戏次数
|
||
num_games = 146
|
||
# 获胜概率
|
||
win_prob = 0.75
|
||
# 年化赢利率
|
||
annual_win_rate = 0.5
|
||
# 年化输利率
|
||
annual_loss_rate = -0.8
|
||
# 模拟次数
|
||
simulation_times = 10000
|
||
|
||
final_amounts = []
|
||
annual_interest_rates = []
|
||
|
||
for _ in range(simulation_times):
|
||
principal = initial_principal
|
||
# 模拟游戏过程
|
||
for _ in range(num_games):
|
||
# 模拟游戏结果
|
||
result = random.random()
|
||
if result < win_prob:
|
||
# 赢了
|
||
daily_rate = (5 / 365) * annual_win_rate
|
||
principal *= (1 + daily_rate)
|
||
else:
|
||
# 输了
|
||
daily_rate = (5 / 365) * annual_loss_rate
|
||
principal *= (1 + daily_rate)
|
||
|
||
final_amounts.append(principal)
|
||
# 计算实际年化利率
|
||
years = 2
|
||
annual_interest_rate = math.pow(principal / initial_principal, 1 / years) - 1
|
||
annual_interest_rates.append(annual_interest_rate)
|
||
|
||
# 提取每次模拟中的最高和最低收益
|
||
max_amounts = []
|
||
min_amounts = []
|
||
for i in range(0, simulation_times, 100): # 这里简单分组，每 100 次模拟一组
|
||
group = final_amounts[i: i + 100]
|
||
max_amounts.append(max(group))
|
||
min_amounts.append(min(group))
|
||
|
||
# 绘制最高值的直方图并拟合 Gumbel 分布
|
||
plt.figure(figsize=(12, 6))
|
||
plt.subplot(1, 2, 1)
|
||
plt.hist(max_amounts, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
|
||
params = gumbel_r.fit(max_amounts)
|
||
x = np.linspace(min(max_amounts), max(max_amounts), 100)
|
||
plt.plot(x, gumbel_r.pdf(x, *params), 'r-', lw=2)
|
||
plt.title('Distribution of Max Amounts (Fitted Gumbel)')
|
||
|
||
# 绘制最低值的直方图并拟合 Weibull 分布
|
||
plt.subplot(1, 2, 2)
|
||
plt.hist(min_amounts, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b')
|
||
params = weibull_min.fit(min_amounts)
|
||
x = np.linspace(min(min_amounts), max(min_amounts), 100)
|
||
plt.plot(x, weibull_min.pdf(x, *params), 'r-', lw=2)
|
||
plt.title('Distribution of Min Amounts (Fitted Weibull)')
|
||
|
||
plt.show()
|
||
```
|
||
|
||
|
||
![[../attachments/Pasted image 20250222113205.png]]
|
||
|
||
这张图包含两个子图，分别展示了模拟游戏收益中最高值和最低值的分布情况，以及它们与特定极值分布的拟合结果：
|
||
|
||
### 左图：Distribution of Max Amounts (Fitted Gumbel)
|
||
- **直方图**：绿色的直方图表示每次分组模拟（每100次模拟为一组）中的最高收益的分布频率。纵轴是概率密度，横轴是收益金额。可以看到，收益最高值主要集中在一定范围内，其中某个区间的出现频率相对较高，而两端的频率较低。
|
||
- **红色曲线**：这条曲线是根据Gumbel分布拟合得到的概率密度函数（PDF）。通过将模拟数据拟合到Gumbel分布，我们可以判断最高收益的分布是否近似符合Gumbel分布。从图中可以看出，红色曲线与直方图的形状有一定的契合度，说明最高收益的分布在一定程度上符合Gumbel分布的特征。
|
||
|
||
### 右图：Distribution of Min Amounts (Fitted Weibull)
|
||
- **直方图**：蓝色的直方图展示了每次分组模拟中的最低收益的分布频率。同样，纵轴是概率密度，横轴是收益金额。最低收益值的分布也呈现出一定的集中趋势，有一个出现频率较高的区间。
|
||
- **红色曲线**：该曲线是根据Weibull分布拟合得到的概率密度函数（PDF）。将模拟数据拟合到Weibull分布，以判断最低收益的分布是否符合Weibull分布。从图中可见，红色曲线与直方图的形状也较为匹配，表明最低收益的分布在一定程度上符合Weibull分布的特点。
|
||
|
||
总体而言，通过直方图和拟合曲线的对比，可以初步判断在这个游戏收益模拟中，最高收益的分布近似符合Gumbel分布，最低收益的分布近似符合Weibull分布。 |