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  "{ date:YYYY-MM-DD }": 
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在之前模拟游戏收益的情境中，模拟一万次后收益和实际年化利率的最高值、最低值本身并不一定对应着某种典型的已知函数形式。不过我们可以从以下几个角度来分析和探讨可能的关联：
1. 数据分布特性与函数的关系
模拟收益和年化利率的随机性
每次模拟游戏的结果是随机的，由游戏的获胜概率、赢和输时的年化利率等因素共同决定。在多次模拟后，收益和年化利率的分布是基于大量随机事件的统计结果。
这种随机性使得最高值和最低值的产生也是随机的，并不遵循简单的确定性函数规律。例如，每次模拟中游戏的输赢顺序不同，最终的收益和年化利率就会不同，从而导致最高值和最低值不断变化。
2. 可能的近似分布及对应函数
收益和年化利率的分布可能近似为某种概率分布
正态分布：在某些情况下，如果模拟的次数足够多且满足一定条件，收益和年化利率可能近似服从正态分布。但最高值和最低值并非正态分布本身，而是从正态分布样本中选取的极端值。
极值分布：对于大量随机变量的最大值和最小值，它们往往服从极值分布。常见的极值分布有三种类型：Gumbel 分布、Fréchet 分布和 Weibull 分布。
Gumbel 分布：通常用于描述最大值的分布，当数据没有上限且分布的尾部较轻时，最大值可能服从 Gumbel 分布。
Fréchet 分布：适用于具有重尾分布且没有上限的数据，最大值可能遵循此分布。
Weibull 分布：可用于描述最小值的分布，当数据有下限且满足一定条件时，最小值可能服从 Weibull 分布。
1. 通过代码验证近似分布
以下是一个简单的示例，展示如何使用 Python 模拟游戏收益，并观察最高值和最低值的分布情况，尝试判断是否符合某种极值分布：


```python
import random
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gumbel_r, weibull_min

# 初始本金
initial_principal = 10000
# 游戏次数
num_games = 146
# 获胜概率
win_prob = 0.75
# 年化赢利率
annual_win_rate = 0.5
# 年化输利率
annual_loss_rate = -0.8
# 模拟次数
simulation_times = 10000

final_amounts = []
annual_interest_rates = []

for _ in range(simulation_times):
    principal = initial_principal
    # 模拟游戏过程
    for _ in range(num_games):
        # 模拟游戏结果
        result = random.random()
        if result < win_prob:
            # 赢了
            daily_rate = (5 / 365) * annual_win_rate
            principal *= (1 + daily_rate)
        else:
            # 输了
            daily_rate = (5 / 365) * annual_loss_rate
            principal *= (1 + daily_rate)

    final_amounts.append(principal)
    # 计算实际年化利率
    years = 2
    annual_interest_rate = math.pow(principal / initial_principal, 1 / years) - 1
    annual_interest_rates.append(annual_interest_rate)

# 提取每次模拟中的最高和最低收益
max_amounts = []
min_amounts = []
for i in range(0, simulation_times, 100):  # 这里简单分组，每 100 次模拟一组
    group = final_amounts[i: i + 100]
    max_amounts.append(max(group))
    min_amounts.append(min(group))

# 绘制最高值的直方图并拟合 Gumbel 分布
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.hist(max_amounts, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
params = gumbel_r.fit(max_amounts)
x = np.linspace(min(max_amounts), max(max_amounts), 100)
plt.plot(x, gumbel_r.pdf(x, *params), 'r-', lw=2)
plt.title('Distribution of Max Amounts (Fitted Gumbel)')

# 绘制最低值的直方图并拟合 Weibull 分布
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.hist(min_amounts, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b')
params = weibull_min.fit(min_amounts)
x = np.linspace(min(min_amounts), max(min_amounts), 100)
plt.plot(x, weibull_min.pdf(x, *params), 'r-', lw=2)
plt.title('Distribution of Min Amounts (Fitted Weibull)')

plt.show()
```


![[../attachments/Pasted image 20250222113205.png]]

这张图包含两个子图，分别展示了模拟游戏收益中最高值和最低值的分布情况，以及它们与特定极值分布的拟合结果：

### 左图：Distribution of Max Amounts (Fitted Gumbel)
- **直方图**：绿色的直方图表示每次分组模拟（每100次模拟为一组）中的最高收益的分布频率。纵轴是概率密度，横轴是收益金额。可以看到，收益最高值主要集中在一定范围内，其中某个区间的出现频率相对较高，而两端的频率较低。
- **红色曲线**：这条曲线是根据Gumbel分布拟合得到的概率密度函数（PDF）。通过将模拟数据拟合到Gumbel分布，我们可以判断最高收益的分布是否近似符合Gumbel分布。从图中可以看出，红色曲线与直方图的形状有一定的契合度，说明最高收益的分布在一定程度上符合Gumbel分布的特征。
 
### 右图：Distribution of Min Amounts (Fitted Weibull)
- **直方图**：蓝色的直方图展示了每次分组模拟中的最低收益的分布频率。同样，纵轴是概率密度，横轴是收益金额。最低收益值的分布也呈现出一定的集中趋势，有一个出现频率较高的区间。
- **红色曲线**：该曲线是根据Weibull分布拟合得到的概率密度函数（PDF）。将模拟数据拟合到Weibull分布，以判断最低收益的分布是否符合Weibull分布。从图中可见，红色曲线与直方图的形状也较为匹配，表明最低收益的分布在一定程度上符合Weibull分布的特点。 

总体而言，通过直方图和拟合曲线的对比，可以初步判断在这个游戏收益模拟中，最高收益的分布近似符合Gumbel分布，最低收益的分布近似符合Weibull分布。